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原帖:http://www.jianshu.com/p/9cbab91049d5

 

我很惊讶地发现，百度贴吧里我以前写的帖子居然都被删掉了。
似乎是因为长时间不用，然后被盗号（不是有几次国内网站密码泄露么？看来是中招了），导致很长一段时间里我的号成了广告集散地，所以就被整个清除掉了。
算了，反正自己写的东西怎么都能重新写出来的，小事。

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最近有部电影很火，就是刚上映没多久的《星际穿越（Interstellar）》。
而，接着这部片子，黑洞与虫洞这些已经被科幻电影玩腻的概念又通过极其抓人眼球的视觉效果重新回到了大众的眼前——话说，据说为了拍这部片子制片方特地找来了广义相对论大牛吉普·索恩来做模拟的指导，而后者似乎听说还靠着这个计算直接发表了一篇论文。。。附带一说，这部片子的几乎所有和物理相关的内容都可以在索恩很久很久以前的科普大作《黑洞与时间弯曲》里找到，所以我个人觉得你就是说这部电影是索恩那本科普的电影版，大概也没差吧。。。

于是，突然想翻一下自己以前写的和黑洞相关的帖子们，结果凄凄然地发现已经被齐刷刷砍头了，呜呼哀哉。。。

PS：以下的几乎所有内容你大概都可以在索恩的《黑洞与时间弯曲》里找到，真的。

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一，“黑洞”的由来

在深入了解什么是黑洞以前，我们先来八卦一下“黑洞”这个词语和这个概念的由来。

黑洞这个词的最早提出者，就是上世纪著名的物理学家惠勒——他和另一位同时代一样非常著名的物理学家、美国曼哈顿计划的主要倡导者之一、“原子弹之父”奥本海默之间相爱相杀啊不对是相互竞争的故事很有意思，比如在艾森豪威尔对左倾的奥本海默安全听证会上惠勒的发言是“略微”不利于奥本海默的。
在惠勒之前，理论物理学家们已经在纸与计算器上发现了黑洞这个奇怪的东西，但当时对此的命名并没有统一，比如有叫它“冻星”的，有叫它“塌缩星”的。而惠勒在67年一次NASA会议上灵机一动，称它为“黑洞”。
为什么是叫他“黑洞”呢？索恩本身不怀好意地认为“这位老人不可能不知道这个词的猥琐含义”，而也正因为这个猥琐含义，法国人在相当一段时间里都拒绝物理论文中出现“黑洞”这个词——这样的现象在金兹堡关于经典引力理论（广义相对论也是经典范畴的引力理论，经典范畴之外或者说之上的量子范畴）最重要的定理之一“黑洞无毛”定理上也重现了。
至于说为什么惠勒要提出“黑洞”以及金兹堡要提出“黑洞无毛”，这个……呃……理科宅的恶趣味吧…………（其实物理学家们一点都不宅，比如费曼经常去酒吧敲鼓各种High来找物理灵感…………还有逸闻是关于他和脱衣舞女以及赌徒的…………）
惠勒除了给广义相对论里的妖孽命了一个“黑洞”的名外，也为量子力学的哥本哈根诠释命名过——“大烟龙”，DnD里无论你怎么打击它都能轻易Miss掉的怪物龙，用来讽刺哥本哈根诠释的“毫无破绽”。其它的命名还比如“量子泡沫”这些，就不说了。

“黑洞”这个名字的出现带有一点戏虐，但黑洞这个东西本身可一点都不戏虐。
它的第一次出场其实比爱因斯坦都要早——这货的首次真正露面是牛顿引力时代拉普拉斯干的好事，他发现按照牛顿引力理论去计算会得到一种奇怪的天体，其逃逸速度为光速——这就是说，它表面射出的光最终也会落回到它自身而不可能射真正地“射出去”，所以在足够远的地方的人看起来，它就是黑的，没有光的，从而是一种“发出黑光的星星”，这就是最早的黑洞。
当然，我们现在都知道（大概是“都”吧……），牛顿引力理论在高能与高速范围里是不适用的，有问题的，但不得不说的是，拉普拉斯的这项计算所得到的结果和广义相对论计算得到的结果相当契合——都是r_H = 2M（这里使用自然量纲，也就取G=c=h=1），只不过一个是根据逃逸速度公式GMm / r = mc^2 / 2，一个是根据广义相对论——所以可以看到所谓“错两次也就对了”这句话是无比正确的啊。。。（左面引力的部分错了一次，右面物体动能的部分又错了一次。。。）。

小贴士：所谓逃逸速度，就是说，你在一个星球的表面向上以逃逸速度扔一样东西，它最终可以“脱离该星体的引力圈”，在外面自由飞翔的那个最低速度。当然，这是比较浪漫的说法，精确的说法嘛，这不重要。。。
如果大家还有印象的话，以前高中的时候应该会提到过“第一宇宙速度”、“第二宇宙速度”和“第三宇宙速度”，其中第一宇宙速度是“环绕速度”，就是在不考虑空气阻力等因素的情况下，你在地球表面以第一宇宙速度扔一颗石子，它可以一直飞而不掉下来，从地球外来看就是绕着地球做圆周运动，所以叫“环绕速度”。第二宇宙速度就是地球表面的逃逸速度，而第三宇宙速度是地球轨道位置上的太阳系的逃逸速度。脑洞大开的还可以算太阳运行轨道位置上的银河系的逃逸速度，虽然这个基本就没啥意义了。。。

拉普拉斯黑洞是有据可查的非脑洞物理对象（当然并不是客观实体）中最早的黑洞（不考虑猥琐含义），而此后大家都认为这货纯扯淡，于是和当年的很多论文一样，被束之高阁无人问津。
直到有一天，爱因斯坦发明了广义相对论，史瓦西算出来了第一个精确解，然后大家一开，嘿，中间有个黑洞哎，这货这才被重新从故纸堆里翻阅了出来。

二，黑洞的由来

要说黑洞的由来，就不得不说广义相对论的由来。
但这是一个很复杂的问题，主要是其中涉及到的东西大多很抽象，距离日常生活非常遥远，所以大家要靠脑子想象恐怕有难度。
所以，这里就只能粗略地来说一下。

相对论的由来，是由于人们终于发展出了一套完备而精妙的电磁理论。
麦克斯韦（不是那包咖啡）总结了前人安倍、高斯、库仑、法拉第等等高人的理论与实验成果，发现了石破惊天的麦克斯韦方程组，将电和磁的现象完全统一在了四条方程中。

如果你觉得上面的方程很美的话，那恭喜你很有数学直觉。
你是不是也觉得微分形式比积分形式更漂亮？
但这还不是麦克斯韦方程组最漂亮的形式，最漂亮的是微分几何中的外微分形式，就一句话解决战斗：
d * F = J
有没有一种别人废话了半天他一句话点破主题的舒坦感？这就是数学的漂亮～～

有了麦克斯韦方程组，人们第一次感受到了“统一”带来的震撼——原来本来认为很不一样的电现象和磁现象居然是统一在一起的。更离奇的是，光原来就是电磁场——当时的准确说法大致是这样的：“光波和电磁波从数学形式和物理性质上来说，似乎无法区分”。
于是，现在问题就来了——挖掘机技术到底哪家强？啊，不对，应该是光速到底是相对谁来说是光速？

这个问题的由来，是这样的——我们都知道，如果你和我相对运动，那么在你看来你是静止的而我是运动的，而在我看来我是静止的而你是运动的。如果这个时候有一枚超人从身边飞过，那么从你测量得到的超人的速度和从我测量得到的超人的速度是不一样的，不单单是方向不一样，就是速度大小也基本上是不一样的。
所以，你公式计算得到的光速，到底是相对谁来说的？

宗教人士跳出来了——上帝说有光，于是就有光，所以这个光速是相对上帝来说的！
嗯，唔，啊，大概吧……

为了解决这个问题，且暂时不考虑上帝老人家的个人癖好（所谓尘归尘，土归土，上帝的归上帝，凯撒的归凯撒，也就是说物理的事上帝你别来插手），物理学家们就开始绞尽脑汁了。
而物理学家们解决上帝问题的武器一般就两样——一个是笔杆子，一个是扳手。。。分别就是理论推演和实验验证。
这里相关的实验很多，比如各种光行差实验，索莫菲水流实验，迈克尔逊－莫雷实验，等等——这里最后一个实验最有名。
这些实验的结果都告诉我们这么一件事——无论从谁来看，光的速度都是光速，那个理论上算出来的常数。
这就很奇怪了，莫非真的是举头三尺有神灵，就和史蒂芬周说的一样？

中间跳过若干辩论，直接进入最后结果，那就是有一位英雄站了出来，从理论上结束了这场战斗，他就是——

居然不是老Boss爱因斯坦登场，真不幸福！

洛仑兹事实上比爱因斯坦更早提出这个解决方案，所以后来狭义相对论中的各种变换都被叫做“洛仑兹变换”而不是“爱因斯坦变换”。
但，洛仑兹和爱因斯坦最大的不同，则是洛仑兹和他的导师著名的彭加莱一致认为这个变换并不表示时间和空间就是统一的，物体运动的时候可以时间和空间一起变换，于是在此后的很长一段时间里，洛仑兹都认为爱因斯坦是异端邪说，牛顿平直时空才是皇道正统，并试图利用时间和空间分立的平直时空观点重新解释他发现的洛仑兹变换，并毫无意外地以失败告终。

不过我们先不要草率地认为他就真的彻底错了。现在不少研究量子场论的高手也都认为时间和空间的统一可能是假象哦。

爱因斯坦发现洛仑兹变换（他当然不可能叫它为洛仑兹变换了）比洛仑兹晚（事实上，爱因斯坦发现爱因斯坦场方程也比别人晚。。。而比他早的是最后一位数学通才大师希尔伯特，这次输得不冤，虽然有传闻希尔伯特曾说过哥廷根随便找个小孩的微分几何都比爱因斯坦牛……），但爱因斯坦对这个东西的认识却比洛仑兹精准——所以说自然科学发展史上并不是一个定理或者结论的发现者或者发明者就对这个东西具有更正确的理解与认识的，物理上的另一个著名案例就是“薛定谔方程”，薛定谔的理解大概可以说是二流的，所以哥本哈根论战里没他什么事，主角是波尔与爱因斯坦。
洛仑兹变换还解决了另一个问题，那就是在牛顿时空观下我们要写出坐标变换下的麦克斯韦方程，会发现在上帝看来很和谐美好（就是上面那几组方程）在一个和上帝相对运动的人看来就会变得丑陋不堪。而如果你使用洛仑兹变换，麦克斯韦方程组就变得一成不变兼一尘不染了，这就太美好了。
于是，狭义相对论诞生了。

站在后知后觉的角度来说，狭义相对论其实就两句话——
1. 时空是一个整体，四维的；
2. 物体在时空这个整体中运动，我们所看到的三维运动是它与我们在时空上运动矢量不平行的结果。
这么一来，本来让大家很头疼的物理问题瞬间变成了四维时空平凡的几何问题。而狭义相对论中各种所谓的佯谬，其实都是错误地将三维空间的几何结论运用到四维时空中的结果。
老Boss的一位老师闵科夫斯基为这种时空取了一个好听的名字——闵科夫斯基时空……

关于狭义相对论，最著名的，除了那些苍蝇一般的佯谬，就是质能关系了——

不谈论数学细节，这货后来被无数次的实验所验证，大概经历的考验仅次于量子电动力学（QED，号称是被最严格地验证过的现代物理理论，而且还活了下来）。
顺便一提：05年爱因斯坦发表《论动体的电动力学》即狭义相对论，同年还发表了量子论并提出光量子理论以解释光电效应，以及另外两篇论文，所以这年被称为爱因斯坦奇迹年。

狭义相对论着实让大家爱不释手，因为，麦克斯韦理论统一了电磁和光，而狭义相对论则统一了时间和空间（洛仑兹变换），物质与能量（质能关系），于是大家一下子就跃进到了大统一时代。

当然，必须说明的是，在爱因斯坦之前就已经有人在研究如何用一条理论就完整地描述牛顿引力理论和麦克斯韦电磁理论了，所以说研究统一理论TOE（Theory Of Everything），爱因斯坦倒也不是第一个。。。不过他是现代物理的第一个。

有了新的时空观，接着顺理成章的就是重写物理理论了。
别的都很顺手，大家一片欢欣鼓舞，但当遇到牛大大的时候，问题就突然严峻了——
简单粗暴地将牛顿引力理论的数学形式F = GMm / r^2写成狭义相对论的形式居然就不对了。。。
为了解决这个问题，大家做了各种城市和努力，最后爱大大学习达摩面壁九年，终于学会了独孤九剑号令群雄，倚天不出谁与争锋……呃，串词了……
事实上，05年爱因斯坦提出狭义相对论，其后就开始考虑引力的相对论，并最终到15年提出广义相对论解决这个问题，这里的时间跨度也已经足够达摩老祖面壁的了——达摩面壁九年而悟道。
当然了，这期间正好是一战，牛逼的老Boss爱因斯坦参与发起了反战团体“新祖国同盟”，并被当局判定为非法组织……

八卦就先不说了，简单说一下广义相对论和狭义相对论的关系。

狭义相对论的基本时空观，就是时空整体是被闵科夫斯基几何所描述的，说白了就是时间和空间是统一的。
这个时空观相对于牛顿的时间和空间是隔离的时空观已经有了长足的飞跃，但爱因斯坦却发现这个飞跃在引力问题上，飞得还不够彻底。
通过一系列的思辨——对，是思辨，而不是实验，这是爱因斯坦的一大特色，不通过实验通过脑洞来发现物理，这也可以说是脑洞直通太平洋了……——爱因斯坦发现，要完美地解释牛顿的引力理论在相对论时空观下的问题，解决方案就是再飞跃一次——这就是广义相对论的时空观。
广义相对论认为，时空从每一个无限小的局部上来看，都是狭义相对论所描述的闵科夫斯基几何，但从一个有限的区域来看，则不是。
闵科夫斯基时空是“刚性”的，所有地方都一样，你知道了一个点的x轴和t轴，到另一个点上那里的x轴和t轴依然如此，不会发生变化。但是广义相对论不是，它是“柔性”的，即每个点上的坐标虽然看上去都和闵科夫斯基几何一样，但连在一起却完全不是那么回事，这里的x轴在那里可能同样的方向却变成了y轴。
再形象一点说，就和那些常见的科普一样，引力是时空的弯曲，而时空在物质与能量的作用相，就会像橡皮泥一样随便弯曲——

而，连接两个不同点上的闵科夫斯基几何的，数学上叫做“联络”，物理上就叫做“引力”。
爱因斯坦的这个牛逼概念后来在他的统一场论中继续发扬光大，并郁郁无疾而终……但后人们比如杨政宁最终在规范场论中将这个概念发展了起来，得出了杨－米尔斯方程，并最终指引我们去探寻真正的TOE。至于到底是超弦（M理论）还是圈量子，这个我们就不说了。。。

这里对这个常见的科普描述要说两点。
首先，引力当然不是在我们所处的“时空”之“下”有一个什么力在拉着时空中的物体从而让时空发生形变。这样的图景虽然很直观，很有说服力，但和真实所发生的事情基本没关系。。。这只是科普作家为了写的科普大众可以尽可能理解而做的比喻手法。
其次，倘若真的有上述这种高维时空里向下拉的“拉力”，那么在这种情况下这种拉力在我们的时空中所表现出的“引力”“恰好”就是牛顿引力的结果。
当然，作为补充，现代膜宇宙理论倒真的可以想象成上述这个样子。。。

爱因斯坦这九年十年所作的主要工作，就是将上述脑洞里的想象，用数学的语言来描述。为此，他自学了微分几何（当时叫黎曼几何），而后在一次拜访了希尔伯特后，没多久希尔伯特就写出了场方程。。。而过了几天后爱因斯坦才写出场方程，而且第一次还写错了。。。当然，希尔伯特是数学家，这本来就是他的工作，而关于为什么要用这个数学公式而不是别的，这是物理问题，解决者是爱因斯坦。所以，现在的场方程一般都叫爱因斯坦场方程，只有某些场合会为了纪念希尔伯特而称呼她为“爱因斯坦－希尔伯特方程”。

方程的左面是时空的曲率（R就是纯数学的Ricci曲率张量，而G是具有物理意义的爱因斯坦张量，可见完全是曲率构成的），右面是物质能量动量张量（k就是引力常数），于是整个方程的含义就是——时空中能量与动量的分布决定了时空是如何弯曲的。
这就是将狭义相对论飞跃的一小步向外一推的结果——这回是人类的一大步。

狭义相对论带来了原子能时代（主要就是告诉我们原子能从哪来），而广义相对论则开启了太空时代——我们GPS卫星上的时间调整就考虑了相对论效应，还有天文上的各种引力透镜，这对未来的星际航行很有用。
它的第一次实用就是水星的近日点进动，这是牛顿引力理论一直无法解释的问题，现在广义相对论一算，日食观测一做，爱因斯坦老Boss的地位就无可撼动地建立了起来，爱丁顿无话可说。

关于爱因斯坦与爱丁顿在广义相对论这个专题上的各种相爱相杀，第十任神秘博士曾经出演过电影来演绎，当然，那里他出演的是爱丁顿。。。
后来爱丁顿还反对爱因斯坦广义相对论的自然结论，黑洞，不过这次是和爱因斯坦站在一起。

一句话来说，引力就是描述时空是如何弯曲的语言。
再说得数学一点，引力就是时空弯曲的曲率。
而，既然有弯曲，那么总会遇到这么一个问题——如果弯过头戳了个洞，怎么办？

三，黑洞，的，由来

爱因斯坦发现了广义相对论，写下了爱因斯坦场方程，但他自己很怀疑自己到底能否解出这个方程的解（严格说来是解析解）。
但这个问题很快（16年）就被前线正在打仗的大叔史瓦西在战壕里搞定了……

当然，要说明的是，史瓦西在去参加一战德军以前是波茨坦天体物理台台长（09年），曾经还解出过三体问题的一个周期解，量子理论也参与了早期奠基，是一个牛人，不是随随便便的马路大叔。

这个解让爱因斯坦喜出望外高兴坏了，虽然只是球对称静态解（也就是整个宇宙了只有这么一个球，而且永远不发生变化），但怎么说也是一个解啊。这个时空后来被称为史瓦西时空，和闵科夫斯基时空交相辉映。
但没多久就发现了问题——这货存在一个区域，一旦真实形式比这个区域小，落入了这个区域内，那么时空的弯曲程度就会戳出一个洞来——这，就是后来惠勒冠之以“黑洞”之名的奇葩。
大家先是很开心地认为恒星这么大，肯定比这个奇怪的区域大，所以没事。
可后来惠勒与奥本海默将描述恒星物质形态的物理加了进来，先后得到了白矮星（钱德拉塞克为主力军，得到了钱德拉塞克极限，惠勒与其学生计算机验证成立）与中子星（奥本海默与其学生奋发突前所得到，对应的是奥本海默极限），最后更是发现只要超过了奥本海默极限，按照当时的理解，恒星就不可挽回地成为了黑洞。
于是，第一次反黑希望就这么破灭了。

这里补充一下，关于恒星的归宿，大致来说是这样的——
非常非常小的恒星，最后会陷入电磁力与引力的平衡，郁郁而终。这个极限是0.2太阳质量。
大一点的黑定，普通力无法抗拒，进入电子简并压与引力抗拒的状态——此时原子本身的轨道结构完全被打破，电子被挤压在原子核周围动弹不得，由量子力学的泡利不相容原理产生斥力。这个的质量上限就是钱德拉塞克极限，1.4太阳质量。当然，这个状态之前，暮年的恒星会发生新星爆发，抛射掉大约95%的质量，只留下最后一个核，钱德拉塞克极限说的就是这个核。这个最后的产物就是白矮星。
如果超过了钱德拉塞克极限，那恒星就会形成中子星——电子被引力挤进了原子核，与质子发生弱相互作用，融合为中子，而中子与中子之间犹豫泡利不相容原理，形成中子间斥力。可以说，中子星内部是一片无差别的中子海洋，大致上。这个状态之前的恒星爆发就是超新星爆发，抛射掉接近98%的质量。而且由于角动量守恒，中子简并的中子星体积又非常非常小，所以中子星一般带有极高的自转——这方面大家可以想象花样滑冰的时候，选手通过将双手收拢来提高自身的转速，这基本就是中子星的过程，嗯嗯。而极高自转的中子星现在被认为就是宇宙中的脉冲星，而超新星爆发的过程有在一定程度上和类星体有关联，当然类星体更大的关联是黑洞。中子星的质量极限就是奥本海默极限，大约为2到3个太阳质量。
中子星之上，当年的看法就是黑洞了，但现在则认为还有夸克星及胶子星等，这些知识随着对亚原子物理的不断研究深入而被刷新，特别是以前认为强子只能由三个夸克构成，但现在却认为还可能存在四夸克甚至五夸克的重强子，胶子也可能构成胶子球，所以这方面的知识已经发展了很多了。
无论如何，突破了一定的质量极限后，无论是什么东西的斥力都无法与引力抗衡，黑洞的形成无可避免。

面对第一次反黑围剿的失败，爱丁顿等人毫不气馁，提出了又一种理论——那个时代无论是惠勒还是奥本海默，计算恒星演化的重要假设前提，就是恒星中的物质流动满足一定的约束条件。其中一条就是球对称。
于是，认为宇宙中不会有怪物的两爱就认为，物质的非球对称运动会破坏最终黑洞的形成。
当然，这个反驳最后也被证伪了。

随着更多爱因斯坦场方程精确解的出现，越来越多的黑洞被发现，比如带有旋转的黑洞，带有电荷的黑洞，以及又有黑洞又有电荷的黑洞，最后就是金兹堡大笔一挥，告诉你黑洞只能有质量、角动量与电荷，别的都没有，这就是“黑洞无毛”定理。

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银河系穿越指南 的 前言

一，维度

维度是一个日常生活里大家不怎么接触到的名词。
当然，这个名词不怎么接触到，并不表示这个东西我们接触不到——恰恰相反，维度这个名词所对应的物理对象正好是我们所有日常生活必然会接触到的一个东西，这个坎我们还怎么都绕不过去。
就物理上来说，所谓维度，可以大致理解为物体可以自由活动的方向。
这个说法是非常粗糙的，要细致理解这个概念我们必须深入到物理本质中去，所以就需要使用一定的数学。
继续下去之前，我们先来看一下日常生活中我们可能会接触到的“维度”一词可能是什么样的。
比如说，我们在评论一本书的时候可能会说这本书的这个故事有几个维度可以来分析，一样产品可能有几个维度可以做优化，用户群体可以从几个维度来做区分，等等。
从这些直观的表述上，我们可以感觉到，“维度”这个词的含义和“层次”是很有点共通性的。
回到物理上，我们将这种共通性可以具体地定位在这么一种概念上——
对系统的行为有影响的，一组相互之间互不影响的，参数，被称为一组（广义的）维度。
比如说，日常空间中的一个点，它的运动可以用上下左右前后这三组量来表示，而且上下移动的时候，其左右和前后这两组参数可以是不变的，从而我们说“上下”是一组和“左右”以及“前后”独立的参数。以此类推，我们发现日常生活中我们只能区分出“上下”、“左右”和“前后”这三组参数，来描述一个点的运动，或者说一个点的运动只能在“上下”、“左右”、“前后”这三个独立的“维度”上进行。
那么，是否一定只有这三个“维度”呢？
在回答这个问题的时候请务必小心，因为按照我们当前的定义，物体的运动未必只能有这三个独立参数——所以在上面的定义中加了“广义的”这个辅助词。
比如说，我们现在看的不是一个点，而是一个半径有限的不能形变的球体，那么它的运动就有五个维度：上下、左右、前后、上下左右这个平面里的转动，前后左右这个平面里的转动。
有人可能会问那为什么没有上下前后这个平面里的转动呢？这是一个好问题，答案是：数学家欧拉告诉我们这个平面上的任意转动都可以用上下左右平面与前后左右平面里的转动的叠加来获得，从而不是独立的，于是按照定义就不能当作一个“维度”。
习惯上来说，我们常常用“自由度”来称呼这种广义上的维度，但从数学上说，自由度也是维度，两者并没有什么区分。
自由度也不是一个纯数学上的概念，物理上也是有体现的，比如在热力学的能量均分定理中，系统总能量就等于系统自由度的数量乘上一个能量系数。可见，点构成的气体和球构成的气体在这里就完全不同了。
那么，我们一般所说的维度，到底是什么呢？
其实，在日常生活中我们所提到的物理方面的维度，指的是“空间维度”，可以近似地理解为一个点的运动的维度，从而日常生活的维度就是3。
那么，为什么要扯什么广义的维度自由度呢？这是为了告诉大家一件事：维度本身是一个数学的概念，本身可以是非常抽象的，甚至和普遍的常识直观不同的。
也因此，当我们在后面说到四维五维六维的时候，虽然可以用一些形象的比喻来帮助理解，但千万不要把比喻当真了。
回到空间维度上，它的一个比较严格的定义，就是一个点粒子在一个给定空间中自由运动时，其独立的方向参数的数量，就反映了这个空间的维度。
这当然依然不是最严格的定义，最严格的定义是数学拓扑学上的问题，而且，事实上，定义的方式有很多，比如较常见的有豪斯道夫维度、盒子维度以及自相似维度，它们的差异在分形上才会体现出来。
从数学上来说，维度是一个拓扑概念，它和连通性以及紧致性密切相关——用人话说，就是对象的维度和对象的一个点在多少方向上可以被到达是相关的，这怎么看都是依据废话。
当我们说，相对论（无论是狭义还是广义）中的时空是四维的时候，这就表示了两个含义：
首先，时空中一个点需要四个独立参数才能完整地描述它的位置和运动。
也就是说，光知道xyz，我们还不足以描述一个点在时空中的完整的位置信息，我们还需要t。所以一个点的完整的坐标就应该是(t,x,y,z)。
当然，这其实本身和是否是相对论无关，就算是牛顿力学，我们一样可以说在整条时间长河中看来，粒子是处于四维时空中的，这句话一点问题都没有。
第二点，时空是四维的这句话就是说，原则上来说一个点的运动可以在txyz这四个方向上相互独立的运动。
日常生活中，一个点可以在xyz这三个方向上互不影响的运动已经是大家耳熟能详的事情了，但现在你说一个点可以在时间t方向上自由的运动，这就很违背常理了。
为了解释这个问题，我们就到了相对论的领域了。
所以，进入第二章——

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二，距离

在《那些宇宙里的奇葩们》这篇文章中，我已经提到，相对论本质上来说是一个几何理论。
事实上，如果你的数学感觉略好的话，从上面的部分你应该已经感受到——我们这是在谈论几何嘛，什么点的位置什么的，这不就是解析几何么？
诚然，物理既然是用数学语言来描述的，那么谈到深处显数学，也就很自然了。
好了，不说废话。
上一章提到，维度本质上是一个数学上的拓扑概念，物理借用这个数学术语所要表示的，主要就是两点：需要四个独立坐标，以及可以在四个方向上运动。
这一章我们要说的是：拓扑上可以自由运动，并不表示实际上它就真的可以自由运动。
所以，虽然按照拓扑术语维度来说，粒子可以在时间t上自由运动，但实际上你不可能看到来自未来的星星啊不对来自未来的你——当然，我们暂且不考虑科幻电影《回到未来》。
为了解释清楚这个问题，我们就需要继续更加深入地聊一聊数学了——我知道，这会让我的读者数量以光速锐减。。。

所谓拓扑学，大致来说，就是研究一个几何体各组成点之间连接方式的学科。
因此，拓扑可以告诉你一个空间（数学概念上的空间，近似可以理解为一个集合）中两个点是否连通，或者一条曲线（也就是一个点集）是否连续，等等等等。
你可以认为拓扑研究的就是各种连通问题。
而维度恰好会影响是否连通的问题，于是维度是一个拓扑概念。
但，我们都知道，现实生活中，你光知道从家到公司是否连通是没用的，你还要知道到底有多远。
于是，在拓扑结构之上，数学家们引入了度量结构——度量，就如名字所暗示的，描述的就是两个点之间的距离等几何信息的。
现在我们穿越一下，在科幻题材经常看到的“虫洞”这个概念中，宇宙中的两点一个通过寻常时空相连，另一个通过虫洞相连，结果我们发现前者比后者长了很多很多很多。

于是，有好奇者会问，从图上看，明明上面两个洞洞之间的直线距离比下面弯弯绕的虫洞的长度要短，为什么反而是虫洞内的距离更短呢？
这就是度量的魅力——虽然从时空结构上来说（严格地说是从微分结构上来说），的确是时空里（也就是图中两个洞之间的直线部分，没画出）的“距离”更短，但一旦算上真正的代表实际距离的“度量”后，你会发现下面虫洞中的部分虽然看上去长，但实际上给的度量值却更小，于是整个的长度就更短。
说得更直白一点，上面是左手1个硬币，下面是右手10个硬币，你那个手上的钱多？直觉告诉你是右手10个硬币的钱多。但度量告诉你，左手的硬币每个价值100元，右手的硬币每个价值1元，于是虽然左手硬币数量少，但左手的总价值更高。
度量告诉你的就是这个——每个硬币多少钱。
而在我们的虫洞的问题中，度量就是告诉你每个点到它邻居点，在坐标上差距为1个单位的话，实际上的距离是几个单位。
那么，为什么说度量这个东西会告诉我们我们日常生活中看不到在时间方向上随便乱跑的东西呢？
这就要从时空的度量属性来说起。

度量可以这么来写：ds ^ 2 = g_{ij} dx ^ i dx ^ j。
用人话来说，从一个点p，到这个点旁边的点p + dx的距离ds，就是dx在各个方向i上的分量dx ^ i两份，与一个参数g_{ij}一份，i和j相等的那些系数乘在一起，在对所有的i和j的取值求和，的结果。
举个例子就都清楚了：

我们日常生活空间中就是：
ds ^ 2 = g_{00} dx dx + g_{11} dy dy + g_{22} dz dz
　　　　+ g_{01} dx dy + g_{10} dy dx
　　　　+ g_{02} dx dz + g_{20} dz dx
　　　　+ g_{12} dy dz + g_{21} dz dy
又由于平直时空中g_{00} = g_{11} = g_{22} = 1，其他的g_{01}这种两个参数不同的g都等于0，
所以上面的结果又可以写成：
ds ^ 2 = dx dx +dy dy + dz dz
这不就是我们平时所用的距离公式么？

在四维时空中，上面的i和j的取值范围是从0取到3，其中0表示的就是时间方向，而1到3表示的就是xyz这三个空间方向。
现在，让我们来看平直时空的那些系数g_{ij}，它们是：

g_{ij} = -1 0 0 0
          0 1 0 0
          0 0 1 0
          0 0 0 1

也就是说，在我们所处的时空中，距离是这样的：

ds ^ 2 = dx dx + dy dy + dz dz - dt dt

请注意，最后一个是减号！
这就引起了很好玩，同时也让数学家很抓狂的东西了——距离的平方可能是负数，从而距离本身可能是虚数……
更要命的是，让我们来看一个“静止”的物体——
静止的物体，就是说，它的xyz三个坐标分量是固定不变的，而时间分量t则是变化的。
那么，一个静止的物体在(t, x, y, z)这个位置，那么下一个时刻它就会跑到(t + dt, x, y, z)这个位置。
我们来算一下这两个时间点所对应的物体在时空中的时空点之间的距离，就会发现：ds ^ 2 = - dt ^ 2——这货居然是一个负数！这个距离的平方就是一个负数！静止物体在时空中两点之间的距离的平方居然是一个负数！
数学家们就抓狂了，因为数学上距离的定义必须是正实数！
物理学家对这个数学上反直觉的事情的处理方式就是——我不管，我就这么用。

说一点，相对论的发展历史上，也有过截然相反的定义，那是这样的：

ds ^ 2 = dt dt - dx dx - dy dy - dz dz

这样静止的物体所度过的距离虽然是正常了，但是你会更加惊讶地发现日常空间中两点之间的距离的平方就成了负数……

而，相对论，不管是狭义相对论还是广义相对论，有一个基本前设，就是任何物理过程不改变物体所对应的在时空中代表其运动的矢量的单位长度。
这个说法当然是尽可能简单直观的了，实际上的论述要复杂且麻烦很多。
总之，就是从物体自身的坐标系来看，如果本来长度是一的，那么无论物理作用怎么作用，它在时空中的长度永远保持为一。
也因此，一个长度平方为负一的东西，无论物理怎么作用，它的长度平方只能始终为负一，不能从负一变为正一再变回负一。
要注意的是，这里所说的都是在时空中的长度，就是上面所说的那个ds ^ 2，而不是空间中的长度。所以，代表物体在空间中表现出的速度的矢量v，它的长度可以从0到某个值随意变化。
另一个需要注意的，就是这个长度是从物体自身测量得到的，而不依赖于某个具体参照系。具体说来，我们可以认为就是物体运动在时空中所对应的“世界线”的“切线”的单位矢量，这个说法是不是特拗口？
而，从距离的上述表达形式，我们不难发现一件让人沮丧的事情，那就是如果一个物体的运动本来是从过去到未来，距离的平方为负一的（物理上的术语叫做“类时”），那么它要变到从未来到过去，距离的平方也为负一，就必须通过一段区域，其中距离的平方为正一（物理上的术语叫做“类空”），且这样的区域是无法避免的。
因此，这其实就对物体的运动提出了一个限制——那些从过去到未来运动的物体，无论发生什么，都只能从过去向未来的方向运动，而不可能因为某些原因倒过来走。
所以，我们不可能看到在时间上真正自由地走来走去的物理对象，因为时空的度量性质决定了，只能从过去走向未来。

上面的说法都是高度科普高度口水的，实际上的物理描述要麻烦复杂和严谨很多。
大家只要有一个大致的印象就足够了，那些艰深的物理讨论可以留给以后有兴趣继续读物理的人，普通人不用深究。

同时，另一方面，在考虑量子效应后，我们会发现世事无绝对……比如量子理论中的“反粒子”就是粒子在时间上逆向形式所造成的，而粒子和反粒子的各种转变在量子过程中也是允许的，只要满足一定的条件就可以——比如虚粒子海中它们就经常成对出现相爱相杀。

理论上，我们可以构造一种特定的时空结构，让其中粒子在始终保持类时运动的情况下，从未来回到过去。
这样的结构当然是在数学上允许的，我们称其为“类时闭曲线”，通俗地说就是“时间机器”。但数学上允许并不表示物理上允许——数学上通过方程m ^ 2 = 1可以得到m = 1和m = -1两个解，但我们知道质量不能为负一，所以m = -1其实只是数学上的解，而不是物理上的解——物理所作的很大一部分工作，就是对物理学家通过数学获得的结论做物理上的筛选，找出真正的物理，而去掉那些数学混进来的残渣。
要回答这个问题，我们就需要进入第三章——

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三，引力

聊相对论的人总会聊到引力和时空弯曲这样的话题。
一个常见的科普模型就是一张橡皮膜，上面有一个大球，把橡皮膜弄弯曲，然后一个小球在弯曲的橡皮膜上滚动，由此来说明引力。
关于这个科普模型，在《那些宇宙里的奇葩们》中已经谈过了，这里不多啰嗦。
为了弄明白什么是引力，即便是在科普的层面上，我们也需要到数学里兜一圈。

前面，我们已经大致知道了什么是拓扑结构（描述两个点的连接情况）和什么是度量结构（描述两个点之间的距离），下面我们要说一下微分结构——一个很吓人的名词。
所谓微分结构，说白了就是告诉你（数学上的）空间中每个点上的坐标系是怎么样的。
狭义相对论就是认为每个点上的坐标系都长得一样的几何学也是物理学，而广义相对论则是认为每个点上的坐标系可以不同的几何学也是物理学。
现在，每个点上的度量结构可以都一样，但每个点上的坐标系却可以彼此不同，这样就导致整个空间可以非常灵活。
而，将两个不同点上的坐标系联系起来，告诉你如何从一个点的坐标系的坐标值变到另一个点的坐标系里去的，这种数学对象就被叫做“联络”。
这种数学上叫做联络的对象，在物理上也就大致对应为“引力”了。
而，我们平常所说的“引力就是时空弯曲”，这句话的典故则出自这么一条数学上的现象：
一旦我们知道了空间里的“联络”——在微分几何里更好的称呼是“流形”上的“联络”——那么我们就知道了这个流形的形状，可以通过联络计算出这个流形的弯曲情况（即Riemann张量、Ricci张量，等等）。
因此，联络与“弯曲方式”是相互对应的，从而“引力”就和“时空的弯曲”对应了起来。
这里的细节我们可以不管，部分八卦内容你也可以从《奇葩们》一文里找到。
爱因斯坦的广义相对论，就是将“引力就是时空弯曲”这个思想上，找到了时空中的物质与能量是如何影响到时空的弯曲的，这么一种互动关系——

可以看到，方程的左面是时空的弯曲（R为标量曲率，学名Ricci标量；另一个有下标的R_{\mn\nu}是张量曲率，学名Ricci张量。这两个都描述了时空流形的弯曲情况。而g就是前面说度量时的那个g），而右面是时空中的物质（或者别的东西）所具有的能量与动量（学名“能动张量”），两者之间由引力系数k联系在一起（其实是希腊字母）。
我们也可以说，引力系数就是时空弯曲时的弹性系数，这么一想还很有道理，让人有点小激动呢～
广义相对论的几乎所有工作，就是围绕这条方程展开的。
这其中包括两部分，一个是在知道T的构成形式的情况下求解R与ｇ；另一个，则是找出T的构成形式。

这里不得不唠叨一下。
T的构成形式与T的具体形式其实是两码事。
深入到数学中，我们会发现，要知道T的具体形式，我们必须首先知道g……也就是说，我们就算知道了物体如何运动，从而知道物体的能量与动量，但也需要有g才能通过这种运动知道真正的T……于是这就成了先有鸡还是先有蛋的问题了……
将T中和g无关的部分笼统地称呼为不精确的“构成形式”，而将包含g的T称呼为它的“具体形式”，以免混淆。

人们最有兴趣的黑洞啊白洞啊虫洞啊，就是上述方程的数学解。
事实上，对于这些数学解，我们目前的情况是，基本认为其中的黑洞解是真实的物理的，而白洞解和虫洞解则更多的是数学的猜测的，而非真实的物理的。
让我们来欣赏一组狂野的数学想象力：

原则上说，我们验证数学结果是否是物理结果的最好办法，就是做实验。
但，可惜的是黑洞和虫洞这样的神物，在人类科技能力范围内没法做实验，于是现在尴尬就尴尬在我们其实也不知道我们算出来的数学结果哪些真的是物理，哪些是数学混到物理中来的卧底……
比如我个人就很认为上头的八爪鱼是真实的物理，但估计主流不会这么想……
现在回到《星际穿越》里的科技顾问索恩，这家伙的最大贡献（之一）就是，他和霍金以及别的一些人证明了一系列关于黑洞虫洞和类时闭曲线（也就是时间机器）的定理，其中就包括了在经典情况下后两者几乎不可能稳定存在。。。
更牛的大概就要数数学大师丘成桐了，他证明了如果物理上的正能量条件是真实的物理的约束条件，那么就不可能有时间机器也不可能有那些奇妙的虫洞。
所以，我们大概只能在幻想的国度里YY一下穿越虫洞的美妙了吧……

当然，丘成桐在物理上更有名的大概要数超弦理论中十一维中的七个蜷缩维度所构成的卡拉比－丘成桐空间了。

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四，结束语

似乎第三章相比前面的部分太草率了点。。。
所以，我就放一个预告吧——下回谈谈平行宇宙和穿越，小伙伴们一起搬好板凳听我扯淡哦～～～

PS：前提是还有下回的话……

重要的PS：推荐大家可以去看索恩自己很久以前写的科普书：《黑洞与时间弯曲》。也可以看一下卢昌海（物理学术神论坛繁星客栈的主人）的《从奇点到虫洞》。